Zahleninhalte

Will man die Teiler einer Zahl ermitteln (genauer: einer natürlichen Zahl), so ist ein einfaches und sicheres Verfahren, alle Teiler zu finden, die Zahl nacheinander durch 1, 2, 3, ... usw. zu dividieren.
Geht die Division ohne Rest auf, so hat man einen Teiler gefunden.
Bringt man die Ergebnisse in ein übersichtliches Schema, so behält man leicht den Überblick und gewinnt noch einige Erkenntnisse hinzu.
Einige Beispiele mögen dies verdeutlichen:
Zu suchen sind alle Teiler von 12, 15, 28, 41, 64:
Wir schreiben:

Um Platz zu sparen, schreibt man das Teilerschema einfacher:

Mit dem oben textlich erweiterten Schema im Hintergrund ist die neue Schreibweise nicht nur einfacher, sondern auch übersichtlicher.

Die übrigen Zahlen teilen sich wie folgt:

Die Beispiele geben uns nun die Möglichkeit, einige geläufige mathematische Begriffe wieder ins Gedächtnis zu holen (oder auch neu kennen zu lernen). 

Die Teiler, die jede Zahl n hat, nämlich 1 und n heißen triviale Teiler.

Die Zahl 41 hat nur die trivialen Teiler 1 und 41, anders ausgedrückt, die Einheit, die Ausgangszahl der natürlichen Zahlen und sich selbst. Derartige Zahlen nennt man Primzahlen

Im letzten Beispiel trat als vierte Zerlegung das Produkt acht mal acht auf. 64 ist bekanntlich ja eine Quadratzahl, d.h. das Produkt zweier gleicher Zahlen, eben 8. Hier wird deutlich, dass die „Mitte“, bis zu der die Teiler zu suchen sind, jetzt exakt als die Quadratwurzel der Zahl selbst festzusetzen ist.

Zwei Begriffe sind weiterhin nützlich, um eine Zahl bezüglich ihrer Teiler einzuordnen: Wenn alle Teiler einer Zahl zusammengezählt werden, nennt man dies die Teilersumme. Die Mathematiker verwenden zur Abkürzung dieser Summe den kleinen griechischen Buchstaben „s“, also s, gesprochen: „Sigma“. Weil viele Browser dieses Zeichen nicht richtig darstellen, wird hier vereinfacht der Buchstabe "s" verwendet.

Um die Teilersumme von 12 zu berechnen, sind alle Teiler zu addieren:

                        s = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28

Zur besseren Kenntlichmachung, von welcher Zahl die Teilersumme bestimmt wird, schreibt man diese in Klammern dahinter oder setzt sie als Index dazu, in unserem Beispiel also s(12) oder s₁₂. Es ist  

Die Teilersumme einer Zahl enthält als größten Teiler immer die Zahl selbst. Lässt man beim Aufsummieren diesen größten Teiler weg, erhält man den so genannten Inhalt (genauer: den multiplikativen Inhalt) der Zahl, auch Zahleninhalt genannt. Zur Abkürzung lässt sich der Buchstabe „i“ verwenden in ähnlicher Weise wie bei der Teilersumme s , im Beispiel also i(12) oder i₁₂. Der Begriff  „multiplikativer Inhalt“ wird verwendet, weil statt der oben beschriebenen Summe nach algebraischer Umformung auch ein Produkt verwendet werden kann.

Es gilt also grundsätzlich die Beziehung:         i(n) = s(n) - n

Wenn wir die Inhalte unserer Beispielzahlen berechnen, ergibt sich Folgendes:

Man sieht, dass drei bzw. vier Fälle eintreten können:

Die ärmsten aller armen Zahlen, wahre Bettler sozusagen, sind die Primzahlen: Da sie nur sich selbst und die Eins als Teiler haben, also die beiden trivialen Teiler, ist ihr Inhalt stets eins. Die Teilersumme einer Primzahl ist, dementsprechend, stets um 1 größer als die Zahl. Es ist unter gewissen Gesichtspunkten sinnvoll, zu der obigen Dreigliederung der natürlichen Zahlen die Eigenschaft prim zu sein aus der Gruppe defizienter Zahlen auszugliedern. Eine (3 + 1) - Gliederung wäre die Folge: {abundant, vollkommen, defizient}, {prim}.

Das Maß des Wachstums kann durch eine Verhältnisbildung ausgedrückt werden: Der relative Inhalt ist das Verhältnis des Inhalts einer Zahl zur Zahl selbst.

In der Formelsprache schreibt man  r(n) = i(n) / n

Für die obigen Beispiele bedeutet dies:

Man sieht sofort, dass der relative Inhalt zwischen abundant und defizient mittels Zahlen größer bzw. kleiner als 1 trennt. Die Eigenschaft "prim" wird allerdings hier nicht besonders erfasst.

Eine ähnliche Einführung in englischer Sprache findet sich bei Jim Howell.

Letzte Änderung / last update:  6-7-2005