ALIQUOT-SEITEN / PRIMZAHLFAMILIEN

Eine Kette iterativer Zahleninhalte - kurz Inhaltskette (engl.: aliquot sequence) - ist eine Folge von natürlichen Zahlen, die mittels der Teilersummenfunktion gebildet werden: s(n) ist die Summe aller natürlichen Teiler einer Zahl n einschließlich der 1 und n selbst.

Der Zahleninhalt ist die Teilersumme ohne die Zahl n, die sogenannte 'Summe der echten Teiler':

In der internationalen Literatur steht für s(n) meist sigma(n). Bei längeren Ketten wird zur Bezeichnung eines bestimmten Gliedes gewöhnlich die erste Zahl geschrieben gefolgt von der Indexnummer gleichbedeutend mit "Inhaltsnummer". Ein Doppelpunkt dient als Trennzeichen.
Beispiel: 276:i4 ist der vierte iterative Inhalt der Kette, die mit 276 beginnt, also 276:i4 = 1872. Die ersten Glieder lauten 276, 396, 696, 1104, 1872. Die gesamte Inhaltskette kann eingesehen werden: 276, ihr Graph ebenso (die Beschreibung der graphischen Darstellung erfolgt weiter unten).

Viele Inhaltsketten enden in einer Primzahl. Alle natürlichen Zahlen, die über Inhaltsketten in ein und derselben Primzahl enden, bilden eine Primzahlfamilie (andere Abschlüsse sind möglich; siehe unten). Meistens hat eine derartige Primzahlfamilie viele Seitenzweige. Neuere Berechnungen führen gelegentlich zu einem Zusammenfluss (Konfluenz) von bisher getrennten Inhaltsketten zu einer Familie.

Den übergeordneten Zusammenhang formulierte erstmals der Lütticher Mathematiker Eugene Charles Catalan im Jahr 1888. Leonard Eugene Dickson erweiterte diese Behauptung zur heute so genannten Catalan-Dickson-Vermutung, kurz auch immer noch Catalan'sche Vermutung genannt: "Jede Kette iterativer Inhalte endet in einer Primzahl oder in einem Ring befreundeter oder geselliger Zahlen."
Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.

Jeder neue Zusammenfluss zweier Inhaltsketten zu einer nährt die Hoffnung auf Erfolge durch Empirie zwar keinen Beweis zu erzielen, aber dennoch an der Lösung des Problems weiter zu arbeiten. Ein beachtlicher Schritt in dieser Richtung geschah im Februar 2005, als Christophe Clavier die Inhaltsketten 1578 und 56440 vereinigte und dabei einen Rekordrückgang entdeckte von 110 auf 5 Dezimalstellen.

Der Begriff "Catalans Vermutung" ist in der Literatur auch für einen anderen Tatbestand gebräuchlich: Catalan behauptete 1844, dass es für die Gleichung x^m - yⁿ = 1 nur eine einzige Lösung gibt, nämlich 3² - 2³ = 1. Diese Behauptung wurde im Mai 2002 von Preda Mihailescu bewiesen. Dieses Problem wird auf dieser Website nicht untersucht!

Inhaltsketten

Endende Inhaltsketten heißen auch terminierte Ketten. Das normale Ende einer Inhaltskette ist eine Primzahl.

Anstelle einer Primzahl kann auch ein Ring (Zyklus, aliquot cycle) das Ende einer Inhaltskette bilden. Bekannt sind Zweierringe - sogenannte befreundete Zahlen. Pythagoras verglich wahre Freundschaft mit den Zahlen 220 und 284: i(220) = 284 und i(284) = 220. Dies ist das kleinste bekannte Paar befreundeter Zahlen. Derzeit sind nach Pedersen über 11994387 (am 1-10-2007) befreundete Zahlenpaare bekannt. Nicht alle wurden aufgefunden, die meisten von ihnen wurden auf der Basis bekannter Zahlenpaare nach sogenannten Thâbit-Regeln konstruiert. Das Untersuchungsintervall ist [1, 10^999] mit einigen Erweiterungen in [10^1000, 10^13581]. Bis 10^14 ist die Liste vollständig und die einzelnen Zahlenpaare mit den Entdeckerangaben können eingesehen werden. Bemerkung: Die Daten bei Pedersen werden in relativ kurzen Zeitabständen erneuert.

Es sind auch Ringe der Ordnung 4, 5, 6, 8, 9 und 28 entdeckt worden, sogenannte gesellige Zahlen. Bisher kennt man noch keine anderen Ordnungen, obwohl es für die Zykluslänge meines Wissens nach keine Begrenzungen gibt. Insgesamt sind derzeit (Februar 2015) 237 Ringe höherer Ordnung bekannt. Man findet sie bei Moews aufgelistet. Eine ähnliche Tabelle findet sich auch bei Pedersen. Die Inhaltskette mit der Startzahl 17490 mündet in den kleinsten bekannten Viererzyklus. Viererzyklen sind am häufigsten vertreten: 226 sind bekannt, dazu fünf der Länge 6, drei der Länge 8 und je einer der Länge 5, 9 und 28. Vierzyklen sind bis 5*10^12 komplett untersucht. Der größte Viererzyklus hat 71 Dezimalstellen.

Die kleinsten Ringe sind vollkommene Zahlen. Sie haben sich selbst zum Inhalt. Die kleinsten dieser Zahlen sind 6, 28, 496, 8128, 33550336. Derzeit sind 48 vollkommene Zahlen bekannt (die 42. wurde im Februar 2005 gefunden, die 43. Mitte Dezember 2005, Nr. 44 im September 2006, Nr. 45 im August 2008, Nr. 46 im September 2008, Nr. 47 im Juni 2009, Nr. 48 im Januar 2013). Sie enthalten als Primfaktoren eine Zweierpotenz und eine Mersenne'sche Primzahl. Bis heute sind nur gerade vollkommene Zahlen bekannt. Eine ungerade vollkommene Zahl kann nach Abschätzungen, die 1991 von Brent, Cohen und te Riele gemacht wurden, nicht kleiner als 10^300 sein.
Im weltweiten Verbund werden Mersenne'sche Primzahlen gesucht (GIMPS (engl.) bzw. GIMPS (dt.)). Die 43. Mersenne'sche Primzahl hat 9152052 Ziffern, die 44. hat 9808358 Ziffern, die derzeit zweitgrößte ist Nr. 45 mit 12978189 Dezimalstellen - die später gefundenen sind "etwas" kleiner. Die Rekordlänge hat Nr. 48 mit 17425170 Dezimalstellen.

Vereinzelte Ketten sind offen. Ihre Zahleninhalte wachsen bis zur derzeitigen Rechengrenze an, ohne dass entschieden werden kann, ob sie enden oder nicht. Die kleinste Startzahl (auch Schlüsselzahl) einer derartigen Offenendkette (OE-Kette) ist 276 (-> Labyrinth in Chartres).

Im Intervall [1, 1000] gibt es 5 offene Ketten. Ihre Startzahlen sind 276, 552, 564, 660 und 966, die sogenannten Lehmer Five.
Im Intervall [1, 10000] gibt es zur Zeit 81 Offenendketten, in [1, 100000] gibt es zur Zeit 898 OE-Ketten, in [1, 10^6] gibt es 9190 OE-Ketten. Diese Zahlen sinken mit zunehmendem Rechenfortschritt.

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über den momentanen Rechenstand und die Bearbeiter (B = Bosma, C = Creyaufmüller, CL = Clavier, G = Gerved, H = Hoogendoorn, S = Stern, VB = Varona/Benito, Z = Zimmermann); weitere Details finden sich in einer erweiterten Tafel [1, 10^6]. Varona listet die Werte [1,10^4] auf. Die Gesamtübersicht für [1, 220000] wurde ebenfalls erstellt.

Tabelle - Gesamtübersicht:

Eine freie Gruppe Mathematiker rechnet im Intervall (500k, 600k]. Um doppelte Arbeit zu vermeiden, bitte die reservierten Sequenzen beim Mersenne-Forum prüfen! (200k, 250k] ist berechnet auf >C100.

Etwa 1% der Zahlen sind Startzahlen für OE-Ketten, d.h. ihre Primzahlfamilienzugehörigkeit ist unbekannt. Dies ist eine empirisch ermittelte Größe und kann als Hypothese auch für Bereiche größer als [1, 10^6] formuliert werden. Allerdings ist anzumerken, dass Richard K. Guy im sogenannten "Gesetz der kleinen Zahlen" davor warnte, zu schnelle Schlüsse aus dem Verhalten kleiner Zahlen zu ziehen - oft gilt nicht für große Zahlen, was für kleine evident erscheint.
Die komplette Statistik für [1, 10^6] ist im Anfangsbereich über den vorangehenden link einzusehen, für einen download klicken Sie hier.

Die obige Tabelle ist das Resultat langjähriger Berechnungen. Mit Hilfe des Programms ALIQUOT von Ivo Düntsch wurde eine Matrix erzeugt, in der zu jeder natürlichen Zahl das Ziel der auf ihr aufbauenden Inhaltskette angegeben ist. Für jede Zahl wird also die Inhaltskette bis zum Ende berechnet oder die Berechnung bricht ab, wenn die Sequenz zu sehr anwächst. Diese Ketten wurden dann getrennt untersucht. Für das Intervall [1, 10^6] kam so im Laufe der Jahre ein Datenbestand von mehreren Gbyte zusammen.
Alle Ketten wurden auf Zusammenhänge untersucht und erfasste Seitenzweige dem jeweiligen, neuen Ziel zugeordnet bzw. der jeweils kleinsten Startzahl, wenn die Sequenz offen blieb.
Der gesamte Zahlenbereich bis 10^6 wurde erstmals bis zu einer Obergrenze von 40 Dezimalstellen durchsucht, später bis zur erweiterten Obergrenze von mindestens 60 Dezimalstellen (C60). Diese Arbeit war im Mai 1999 vorerst abgeschlossen.
Seither wurden noch einige Dutzend weitere Ketten terminiert im Zuge der Erweiterung der Obergrenze auf C80. Die Tabelle oben enthält den aktuellen Stand. Ende März 2003 waren dann alle OE-Ketten bis zu einer Obergrenze von mindestens C80 berechnet.
Nach bisherigem empirischem Überblick führt die Erweiterung der Rechengrenze von C60 auf C80 dazu, dass etwa 2-2.5% der bisher als OE-Ketten eingestuften Inhaltsketten terminieren oder als Seitenkette identifiziert werden können.
Als an Weihnachten 2001 die Kette 6160 zur Primzahl 601 zuende gerechnet wurde, wechselten 1797 Zahlen in (1, 10^6], also 1,8%, die Familie.

Graphische Darstellung

Für einen raschen Überblick ist es günstig, eine Inhaltskette graphisch darzustellen. Hierzu bietet sich folgende Einteilung der Achsen an: Auf der x-Achse wird die Inhaltsnummer, beginnend mit 0, aufgetragen und auf der y-Achse der Logarithmus zur Basis 10 des Inhalts. Wir haben also eine Funktion f: N(n) -> log₁₀ i(n). Die drei Typen von Inhaltsketten geben drei Grundtypen in der graphischen Darstellung.

Weitere Graphen sind über die Links in der Rekordliste zu erreichen oder bei den Lehmer Five.

Graphen der Familien

Datenbanken

1) Die Daten der untersuchten Inhaltsketten im Intervall [1, 1000000] mit ihren Startzahlen und dem Rechenendstand enthält die Datenbank C9C30 (über vorstehenden link sehen Sie den Anfangsteil). Hier finden sich terminierte Ketten und ihre Ziele sowie die OE-Ketten mit den Angaben, wieweit sie berechnet sind. Zu jeder Kette wird die erste 9stellige Zahl (C9) und die erste 30stellige Zahl (C30) angezeigt. Mit diesen Werten besteht die Möglichkeit, Seitenketten zu identifizieren.
2) Eine zweite Datenbank C60 (hier nur der Anfang) zeigt zu jeder Inhaltskette, die auf diese Größe anwächst, ihren ersten C60-Wert. Diese Zahlen ermöglichten die Identifizierung weiterer Seitenketten.
3) Im Frühjahr 2000 wurde die erweiterte Berechnung der OE-Ketten bis mindestens zur Obergrenze C80 begonnen. Ziel ist auch der Aufbau einer C80-Datenbank. Sie wurde im Dezember 2000 mit den zur Verfügung stehenden Daten aufgestellt und wurde im März 2003 bis auf allfällige Ergänzungen vollendet.

4) Zu ALIQUOT gehört eine Matrix (record file) gleichsam als Gerüst, in der die Einträge zu jeder Inhaltskette zu finden sind. Diese gliedern sich in verschiedene Gruppen:
a) -1, wenn noch keine Berechnung erfolgte
b) eine Primzahl bei terminierten Ketten
c) die jeweils kleinste, positive Zahl eines Ringes (vollkommene Zahl, befreundete oder soziale Zahlen)
d) die negativ markierte Startzahl bei OE-Ketten, d.h. wenn ALIQUOT die Berechnung abgebrochen hat.

Nach diesen Kategorien kann eine Sortierung nach den Gruppen jederzeit erfolgen. In einer aufgesetzten Basismatrix finden sich nur die Einträge der Ketten, die mit UBASIC-Programmen gerechnet wurden. Sie lässt sich leicht anpassen und relativ rasch durchrechnen. Nachträgliche Änderungen einer fertig gerechneten Matrix sind allerdings schwierig, weil Seitenzweige oft nicht alle erfasst werden können.

Internet - Links

Unter folgenden Internetadressen finden sich weitere Angaben, teilweise mit vielen Literaturverweisen:

Primzahlfamilien und Inhaltsketten - aliquot sequences

Befreundete Zahlen und Zahlenringe - amicable numbers - aliquot cycles or sociable numbers

Vollkommene Zahlen - Mersenne'sche Primzahlen - perfect numbers

Ein Führer durch die sehr umfangreiche Website von Chris Caldwell ist die von Tobias Jentschke aufgesetzte Maske, die mit gut gesetzten links auf die einzelnen Blätter direkt zugreift. Einen mehr journalistischen Überblick, aber ebenfalls mit vielen Querverweisen gibt Mario Jeckle. Beide führen auch direkt zu einer Biographie von Marin Mersenne. Von Udo Hebisch stammt eine Website mit der momentan aktuellen Tabelle der Mersenne'schen Primzahlen und einer Liste mit Lebensdaten bedeutender Mathematiker. Der Nachteil dieser Seiten ist, dass sie leider seit geraumer Zeit nicht mehr aktualisiert wurden.
Eine Liste mit Kurzbiographien heute aktiver Kollegen gibt Chris Caldwell wieder.

Literatur

Ein aktuelles Verzeichnis der Schriftdokumente ist über den vorstehenden link zu erreichen.
Überwiegend englischsprachige Literatur findet sich verzeichnet bei Moews, Weisstein und Caldwell und von da aus über viele links in weiteren Webseiten.

Deutschsprachige Literatur zum Thema ist relativ dünn gesät, von älteren mathematischen Artikeln abgesehen. Eine aktuelle Monographie ist:

Wolfgang Creyaufmüller: "Primzahlfamilien - Das Catalan'sche Problem und die Familien der Primzahlen im Bereich von 1 bis 3000 im Detail", 1995¹ ,176 S. / 1997², 262 S. / 2000³ , 327 S.
ISBN 3-9801032-2-6.

Hier findet sich die Literatur insgesamt aufgearbeitet. Programme für PCs sind im Quellcode wiedergegeben. Der Literaturlink führt zum mathematischen Teil des Inhaltsverzeichnisses der 3. Auflage.

Verlagsbuchhandlung Creyaufmüller

Ein sehr gutes Überblicksverzeichnis mit Download-Möglichkeit der Schriften pflegt Scott Contini mit FactorWorld.

Faktorisierung großer Zahlen

Die Berechnung von Inhaltsketten führt sehr rasch auf Faktorisierungsprobleme. Bei terminierten Sequenzen mit bescheidenem Maximalwert fällt dies kaum ins Gewicht. Werden die iterativen Zahleninhalte aber immer größer - wie es bei OE-Ketten normalerweise der Fall ist; siehe Beispiel 276 - lassen sich häufig nur kleine Primfaktoren leicht abspalten. Es verbleibt dann ein mehr oder minder großer Rest, der in vielen Fällen zusammengesetzt ist. Ihn zu zerlegen ist die schwierigste und zeitaufwendigste Tätigkeit. Diese Restfaktoren gehorchen im Normalfall keiner Gesetzmäßigkeit, sie sind nicht nach Regeln oder Formel zu erfassen. Ihre Aufspaltung in Primfaktoren ist den unten angeführten Programmen vorbehalten.

ECM - Faktorisierung mittels elliptischer Kurven
In den letzten Jahren hat sich eine Faktorisierungsmethode mittels sogenannter elliptischer Kurven bestens bewährt. Programme auf dieser ECM-Basis finden Faktoren bis zu 20 Dezimalstellen recht schnell, bis zu 30 Stellen innerhalb einiger Stunden oder Tage. Größere Faktoren werden mit mehr oder minder gutem Geschick oder Glück aufgespürt.
Mit sehr effektiven Berechnungen wurde am 26. Dezember 1999 der Rekordwert mit einer 54stelligen Primzahl mittels ECM-Faktorisierung erreicht. Paul Zimmermann fasst auf seiner Seite zum ECMNET Projekt das Wesentliche über die aktuelle ECM-Faktorisierungsmethoden zusammen.

PPMPQS - Faktorisierung mittels Siebverfahren
Zuverlässige Zerlegungen großer Zahlen leisten zur Zeit die multiplen polynomischen quadratischen Siebe (PPMPQS). Mit ihnen lassen sich hundertstellige zusammengesetzte Zahlen (C100) innerhalb einiger Wochen faktorisieren. Der Rekord liegt im Herbst 2001 bei 109 Dezimalstellen. Über die links unten können UBASIC Fassungen für DOS und Windows heruntergeladen werden.

Number Field Sieve - Zahlkörper-Sieb
Das Zahlkörper-Sieb konnte ich noch nicht selbst in vollem Umfang testen. Mir sind derzeit keine Programme bekannt, die das Zahlkörper-Sieb in Inhaltskettenberechnungsprogramme einbinden. Es mehren sich aber in den letzten Jahren die Publikationen zu diesem Thema. Conrad Curry behandelte vor einiger Zeit den Komplex auf seiner Website; er wird zur Zeit weitergeführt von Henrik Olsen.
Die zur Zeit beste Website wird von Paul Leyland unterhalten. Hier findet man auch eine grundlegende Einführung ins Thema.
Literatur zum Thema findet man gesammelt unter nfs-Papers.
Eine ebenfalls gute Zusammenfassung enthält mathworld.

Eine mögliche Verbindung des Zahlkörpersiebes mit den bisherigen Programmen läuft über MSIEVE und separate Berechnungen. Die Faktoren müssen in die Inhaltskettenberechnung derzeit "von Hand" eingefügt werden. Das einzige mir bekannte Programm, das unter einer WinXP-Umgebung im DOS-Fenster läuft, faktorisiert Zahlen ab C98 oder größer. Der grob abgeschätzte Geschwindigkeitszuwachs liegt bei Faktor 20 oder höher. Erste eigene Testrechnungen laufen ab Mai 2008 überaus erfolgreich.
A) Benötigt wird Free Active Pearl, das als erste Maßnahme zu installieren ist.
B) Als zweites folgen die Binärdateien, die allerdings vom verwendeten Prozessor abhängen: Free GGNFS.
C) Der letzte Schritt besteht in der Installation von NFS, das im Verzeichnis von GGNFS zu platzieren ist.
D) Die gepackte Datei ggnfs.zip enthält alle nötigen Programme. Das Zahlkörpersieb wird gestartet aus dem Unterverzeichnis "Tests" durch Eingabe von "num" gefolgt von der zu faktorisierenden Zahl.

Grundsätzlich gibt es zur Zeit Programme für Zahlkörper-Siebe, die spezielle Zahlen zerlegen (special nfs), aber auch solche für arbiträre Zahlen (general nfs). Mit einem derartigen Sieb wurde innerhalb der Sequenz 276 ein C111-Faktor in Teamarbeit zerlegt. Der momentane Rekord (Mai 2007) ist die Zerlegung einer C307-Zahl (C200-Zahl im Mai 2005), (C174 -Zahl im Dezember 2003), ( C158 -Zahl im Februar 2003) durch Jens Franke.
Seit kurzem gibt es eine Ubasic-Variante, implementiert von Yuji Kida. Sie läuft aber nur mit der experimentellen Ubasic-Variante Version 9.
Ein Hinweis auf eine gnfs-Implementierung: GGNFS.

Die Fragestellung der Faktorisierung großer Zahlen berührt ganz direkt das Gebiet der Kryptographie, d.h. das der Verschlüsselung von Botschaften und ihre Entschlüsselung, letztlich natürlich auch die Sicherheit der gesamten Datenübermittlung.

Einen guten, kompakten, englischsprachigen Überblick über die oben genannten Faktorisierungsmethoden gibt Jim Howell auf seiner Website.

Die momentanen Rekorde, die mittels der verschiedenen Methoden erreicht werden, listet crypto-world auf.

Programme

Die Programme, mit denen die Berechnungen gemacht werden, sind in Turbo Pascal und in UBASIC geschrieben.
UBASIC ist ein Dialekt, der speziell für mathematische Berechnungen mit großen Zahlen geeignet ist. Die Programme sind prinzipiell frei erhältlich. Faktorisierungen von Zahlen bis 105 Dezimalstellen lassen sich mit der DOS-Version von Yuji Kidas UBASIC-Progamm PPMPQS berechnen. Bis 120 Dezimalstellen geht die momentane Windowsversion. Beide Siebmethoden wurden in das Inhaltsrechenprogramm eingebunden. Die nfs-Faktorisierungsmethode zerlegt noch größere Zahlen.
Mit leichten optischen Einschränkungen laufen die Programme auch unter Windows 7 in der DOS-Box.

UBASIC-Programme (gepackt zum download) - letzte Änderung: 20-4-2002/29-12-2003/12-6-2004/11-6-2006

Kommentar:
ALIQUOT wurde von Ivo Düntsch in Turbo Pascal geschrieben und liegt in der Originalfassung auf dem Server in Belfast. Das veränderte und erweiterte Programm AQCN ist zusammen mit dem ausgegliederten Statistikteil AQSN die Basis der ersten Tabelle. Im Februar 2001 wurden beide Programme gepatcht, weil sie auf Rechnern mit Taktfrequenzen oberhalb 600 MHz den bekannten "Borland Turbo-Pascal runtime-error 200" lieferten.
Die UBASIC-Programme Ellixts.ub und Ellippmp.ub bzw. Ellppmpx.ub liegen grundsätzlich im Quellcode vor und können variiert werden. Sie bieten also alle Möglichkeiten für unbeschwerten Forscherdrang. Ellippmp.ub (für DOS pur) bzw. Ellppmpx.ub (für DOS-Fenster aller Windowsversionen) wechseln automatisch, dies aber einstellbar, zwischen der Berechnung mittels elliptischer Kurven und der mittels quadratischem Sieb hin und her.
Die beiden Konverter Alq2elf und Elf2alq sind sehr hilfreich zum Komprimieren der Zahlendateien (*.ELF) auf weniger als 10% ihres Volumens. Sie sind von Jesper Gerved geschrieben worden.
Clifford Stern schrieb im Dezember 2001 ein kleines Programm zum Seitenkettenabgleich und zum Ermitteln des Konfluenzpunktes. Ein zweites Programm konvertiert SQ-Dateien in ELF-Dateien.

Querverbindungen

Unabhängig von den Programmen, mit denen die hier besprochenen Untersuchungen bewerkstelligt wurden, gibt es noch für andere Hardware entsprechende Software, die prinzipiell dasselbe leisten kann. Entsprechende Hinweise finden sich z.B. auf Richard Pinch's über Computeralgebra. Während ich mich maschinenbedingt mit DOS/Windows-Rechnern und den entsprechenden Programmen beschäftigte, findet man bei Paul Zimmermann überwiegend Programme für UNIX-Rechner. Von hier wird man bestens weitervermittelt, unter anderem auch mit folgenden Links.
Hisanori Mishima gibt auf seiner Seite Hinweise auf ein neues Faktorisierungsprogramm von Satosi Tomabechi: Ppsiqs soll schneller sein als Ppmpqs.

Pädagogische Umsetzung

Ein generelles Ziel ist die didaktische Umsetzung dieses mathematischen und programmtechnischen Gebiets für den Oberstufenunterricht in den Klassen 9 bis 12. Das Thema an sich eignet sich für Unterrichtssequenzen in Mathematik. Es ist Innerhalb der Oberstufe nahezu altersunabhängig einsetzbar. Grundlegende Rechentechniken werden in einem neuen Gewand geübt. Die programmmäßige Arbeit dagegen blieb bisher dem Informatikunterricht der 11. und 12. Klasse vorbehalten. Geübt und erlernt werden Algorithmen und rhythmologisches Rechnen.
Im laufenden Schulbetrieb an der Freien Waldorfschule Aachen werden laufend weitere Erfahrungen gewonnen und vertieft. Ein Motiv ist die Verbindung der Schüler mit der Forschungsfront. Aus Energiekostengründen ruht das Projekt seit Herbst 2008.

Projekte in Arbeit - Rückblicke und Aktuelles

Dezember 1999:
Die DOS-Versionen der Inhaltsketten-Programme Ellixts.ub und Ellippmp.ub bzw. Ellppmpx.ub laufen seit einigen Jahren problemlos. Sie wurden in vielen Zwischenschritten verbessert. Die Umstellung von reinen DOS-Programmen auf Windows-Versionen wurde erfolgreich vollzogen.

Mai/Juni 2000:
Die Ubasic-Siebprogramme Ellippmp.ub bzw. Ellppmpx.ub wurden verbessert für dreifaktorige Zerlegungen.
Juan-Luis Varona beendete die Berechnungen in (1134, 10000]
Die Berechnung der bislang längsten bekannten Inhaltskette 921232 ist beim Index 5326 vorläufig gestoppt worden.

Oktober 2000:
Ellippmp.ub bzw. Ellppmpx.ub erhielten eine Fehlerberichtigung - bei mehreren kleine Faktoren nach Neustart stoppte das Programm.

Dezember 2000:
Die Berechnungen in (900000, 10^6] wurden erweitert bis zu einer Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 987 OE-Ketten.

Mai 2001:
Die Berechnungen in (800000, 900000] wurden erweitert bis zu einer Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 982 OE-Ketten.

Oktober 2001:
Die Berechnungen in (100000, 200000] wurden erweitert bis zu einer Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 975 OE-Ketten.

Januar 2002:
Die Berechnungen in (200000, 300000] wurden erweitert bis zu einer Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 938 OE-Ketten.

März 2002:
Die Berechnungen in (300000, 400000] wurden erweitert bis zu einer Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 877 OE-Ketten. Die Programme Ellippmp.ub und Ellppmpx.ub wurden erweitert und verbessert.

Mai 2002:
Die Berechnungen in (400000, 500000] wurden erweitert bis zu einer Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 917 OE-Ketten.

Juli 2002:
Die Berechnungen in (500000, 600000] wurden erweitert bis zur Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 971 OE-Ketten.

Januar 2003:
Die Berechnungen in (600000, 700000] wurden erweitert bis zur Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 958 OE-Ketten.

März 2003:
Die Berechnungen in (700000, 800000] wurden erweitert bis zur Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 961 OE-Ketten.
Damit sind alle Berechnungen für 9486 OE-Ketten in [1, 10^6] abgeschlossen und haben eine Mindesthöhe von 80 Stellen erreicht. Rund 17%, genau 171251 Zahlen aus [1, 10^6] sind Mitglieder dieser OE-Ketten.

Juli 2003:
Die Berechnungen in (50000, 100000] wurden ausgeweitet bis mindestens 10^90 (Creyaufmüller/Stern).

August 2004:
Wieb Bosma rechnete in (10000, 50000] und hat alle Ketten bis 10^90 ausgeweitet, ca. 50% davon bis über 10^90.
Die Berechnungen bis 10^100 sind abgeschlossen. Sie wurden komplett neu erstellt.
Juan Varona und Manuel Benito rechnen in (1000, 10000] - zur Zeit sind alle Ketten bei 10^100 oder höher. Ihre Berechnungen ruhen derzeit

September 2005:
Die Berechnungen in (50000, 100000] wurden erweitert bis C100. Die Berechnungen und Kontrollen sind abgeschlossen.

Juni 2008:
Die Berechnungen in (100000, 200000] bis mindestens C100 sind abgeschlossen. Es gibt in diesem Intervall noch 961 OE-Ketten. Bei der Erweiterung von C80 auf C100 wurden 15 Ketten terminiert oder als Seitenketten identifiziert.

September 2008:
1) Zur Zeit laufen die Berechnungen der Inhaltsketten 276, 552, 564, 660 und 966 sowie 1074 und 1134 (Zimmermann/Howell/Creyaufmüller).

2) Die Statistik der Inhaltsketten im Intervall [1, 1000000] wird ständig aktualisiert. Die gesammelten Ergebnisse enthält die Datenbank C9C30 (über vorstehenden link sehen Sie den Anfangsteil). Hier finden sich terminierte Ketten und ihre Ziele sowie die OE-Ketten mit den Angaben, wieweit sie berechnet sind. Zu jeder Kette wird die erste 9stellige Zahl (C9) und die erste 30stellige Zahl (C30) angezeigt.

3) Eine zweite Datenbank C60 (hier nur der Anfang) zeigt zu jeder Inhaltskette im Intervall [1, 1000000], die auf diese Größe anwächst, ihren ersten C60-Wert.

4) Eine dritte Datenbank C80 (hier nur der Anfang) zeigt zu jeder Inhaltskette, die auf diese Größe anwächst, ihren ersten C80-Wert. Sie enthält die Ergebnisse von Zimmermann, Varona, Creyaufmüller, Bosma und ist derzeit erstellt für [1, 10^6].

5) Die Berechnungen in (1000, 10000] werden von Christopher Clavier weitergeführt.

6) Die Berechnungen in (200000, 250000] bis mindestens C100 sind zu ca. 40% beendet.

7) Die Berechnungen in (250000, 300000] bis mindestens C100 haben begonnen und werden von Wieb Bosma durchgeführt.

8) Die erste Inhaltskette erreichte die Rekordlänge von über 8000 iterativen Inhalten.

ab Januar 2010:
Eine freie Gruppe Mathematiker rechnet im Intervall (500k, 600k] und in (700k, 800k]. Um doppelte Arbeit zu vermeiden, bitte die reservierten Sequenzen beim Mersenne-Forum prüfen! (200k, 250k] ist berechnet auf >C100.

Oktober 2011:
Die erste Inhaltskette hat im Sommer die Marke von 10000 Gliedern übersprungen und ist momentan bei Index 12320.

Januar 2016:
Die erste Inhaltskette (28-1-2016, Startzahl 2340) erreicht 200 Dezimalstellen.

Chronologie jüngster Ergebnisse

Rekordwerte bei Inhaltsketten

	Startzahl	Status	Graph	Datum	gefunden bzw. gerechnet von

Rekordlängen:	204828	i4015: OE-Kette	g204838		Creyaufmüller/ Zimmermann
( i > 4000 )	635016	i4090: Seitenkette zu 25968			Creyaufmüller
	227646	i4203: Seitenkette zu 25968			Creyaufmüller
	652500	i4208: Seitenkette zu 25968			Creyaufmüller
	43974	i4126/i4243: OE-Kette		13-06-2004	Bosma/Creyaufmüller
	481900	i4348: terminiert in 3		31-08-2009	mataje
	43230	i4356: terminiert in 101	g43230	3-12-1999	Bosma
	98790	i4443: terminiert in 13		20-07-2008	Stern/Creyaufmüller
	971088	i4468: OE-Kette		05-10-2000	Creyaufmüller
	604440	i4368: OE-Kette		03-01-2003	Creyaufmüller
	216840	i4699: OE-Kette		24-08-2008	Creyaufmüller
	446580	i4736: terminiert in 601	g446580	19-04-2002	Creyaufmüller
	321090	i4743: OE-Kette		29-01-2002	Creyaufmüller
	11040	i4746/i4853: OE-Kette		22-12-2001 09-06-2004	Stern Creyaufmüller
( i > 5000 )	643752	i5008: OE-Kette (C83)		06-12-2002	Creyaufmüller
	92898	i5063: terminiert in 41		11-03-2010	Stern
	696780	i5293: terminiert in 59		09-02-2010	frmky
	921232	i5326: OE-Kette (C103)	g921232	03-06-2000	Creyaufmüller
	59232	i5339: OE-Kette (C97)		21-01-2001	Zimmermann/Stern
	115302	i5415: OE-Kette (C100)	g115302	24-07-2001	Creyaufmüller
	8760	i5583: OE-Kette (C107)		27-01-2003	Varona
	707016	i5932: terminiert in 41		12-11-2010	Batalov
(i > 6000)	921232	i6358: terminiert in 11	g921232-n	12-04-2010	Creyaufmüller/unconnected
	483570	i6491: OES-Kette (C93)		23-05-2002	Creyaufmüller
(i > 7000)	144984	i6531: OE-Kette (C101) / i7053		31-08-2007 / 2009	Creyaufmüller / Schickel
	1578	i7147: OE-Kette (C128) / i7261		22-11-2006	Clavier
	195528	i7955: OE-Kette		2009	Batalov
(i > 8000)	389508	i7070: OES-Kette (C87) // i7135 (C101) // i8000 (C124) // i8033 (C126)	g389508	20-03-2002 / 60-12-2006/ 21-06-2008	Creyaufmüller/Bosma// Stern//Nelson-Melby
(i > 9000) ??	314718	OES-Kette: 314718:i6444 = 4788:i6 // i9004 (??)		2009 (?) 14-7-2010	Bosma / Schickel
	11040	i9405: OE-Kette		29-03-2012	unconnected
(i > 12000)	933436	i12320: OE-Kette (C150) i12516: OE-Kette (C183)		19-10-2011 29-05-2016	unconnected

Längste terminierte Ketten:	64962	i2595 = 7			Zimmermann
	6160	i3026 = 601	g6160	25-12-2001	Varona/Benito
	42660	i3057 = 43			Bosma
	849920	i3336 = 7		27-30-1999	Creyaufmüller
	11670	i3534 = 193		05-09-2007	Stern
	483616	i3669 = 31		14-05-2002	Creyaufmüller
	62850	i3973 = 41		04-09-2008	Stern
	481900	i4346 = 3		31-08-2009	mataje
	43230	i4356 = 101	g43230	03-12-1999	Bosma
	98790	i4443 = 13		20-07-2008	Stern
	428106	i4717 = 7		20-01-2012	Batalov
	446580	i4736 = 601	g446580	19-02-2002	Creyaufmüller
	92898	i5063 = 41		11-03-2010	Stern
	696780	i5293 = 59		09-02-2010	frmky
	707016	i5932 = 41		12-11-2010	Batalov
	921232	i6358 = 11	g921232-n	12-04-2010	Creyaufmüller/unconnected
	414288	i6584 = 601		24-07-2009	Santos

Längste Seitenketten:	42800	i2180 = 4788:i6 = 60564			Bosma
	336048	i2727 = 552: i21 = 772840			Creyaufmüller
	389508	i2919 = 34908:i7 = 113464		20-03-2002	Creyaufmüller
	487140	i2960 = 660: i25 = 14700		10-10-1998	Creyaufmüller
	731520	i3328 = 4116: i7 = 42028		11-02-1999	Creyaufmüller
	644664	i3882 = 37632:i2 = 149716		27-12-2011	bchaffin
	207984	i4215 = 53802: i151 = 1773682		31-12-1011	Batalov
	483570	483570:i4656 = 1920:i81 = 98624		17-05-2002	Creyaufmüller
	438966	i4720 = 5748: i5 = 246584		11-02-2012	unconnected
	314718	314718:i6466 = 4788:i6 = 60564		2009	Schickel/Bosma

Maximum bei terminierten Ketten:	4170: i289	(C84: lg 83.52) endet in 79		Mai 1997	Bosma
	44922: i1167	(C85: lg 84.77) endet in 41		Nov. 1999	Bosma
	43230: i967	(C91: lg 90.13) endet in 101	g43230	03-12-1999	Bosma
	16302: i973	(C94: lg 93.85) endet in 683		31-12-2003	Creyaufmüller
	49218: i822	(C94: lg 93.98) endet in 59		07-07-2004	Creyaufmüller
	105384: i2014	(C96: lg 95.15) endet in 1210/1184		03-04-2004	Stern
	6160: i1631	(C96: lg 95.57) endet in 601	g6160	25-12-2001	Varona/Benito
	62832: i1740	(C100:lg 99.01) endet in 43		28-06-2002	Stern
	23910: i1216	(C100:lg 99.43) endet in 1210/1184		22-04-2004	Stern
	3630: i1263	(C100: lg 99.75) endet in 59	g3630	10-06-2001	Varona/Benito
	56368: i2007	(C102: lg 101.36) endet in 43		06-04-2005	Stern
	134856: i746	(C102: lg 101.42) endet in 601		15-06-2009	Batalov
	21024: i1059	(C103: lg 102.56) endet in 1429		30-04-2005	Stern
	754848: i1049	(C104: lg 103.49) endet in 14891		31-12-2009	Batalov
	683730: i829	(C105: lg 104.85) endet in 59		08-05-2011	bchaffin
	721980: i886	(C106: lg 105.06) endet in 59		15-02-2010	Greebley
	767296: i1888	(C106: lg 105.63) endet in 31		15-05-2011	unconnected
	815770: i989	(C106: lg 105.75) endet in 1153		26-02-2010	biwema
	477750: i1199	(C106: lg 105.76) endet in 601		27-06-2011	bchaffin
	557016: i1489	(C107: lg 106.13) endet in 43		16-03-2011	Schickel
	92898: i3390	(C107: lg 106.29) endet in 41		11-03-2010	Stern
	90480: i604	(C107: lg 106.41) endet in 59		15-07-2010	smh
	45984: i841	(C107: lg 106.50) endet in 11	g45984	30-05-2006	Stern
	649248: i1568	(C107: lg 106.79) endet in 281		07-05-2011	Stern
	959916: i602	(C108: lg 107.17) endet in 43		17-05-2011	bchaffin
	275892:i1257	(C108: lh 107.22) endet in 59		26-04-2011	RobertS
	33672: i2069	(C108: lg 107.99) endet in 41		05-04-2010	unconnected
	930306: i937	(C109: lg 108.09) endet in 1153		13-05-2011	Stern
	15960: i846	(C109: lg 108.26) endet in 41		03-05-2007	Stern
	771108: i597	(C109: lg 108.37) endet in 321329		06-01-2010	unconnected
	877240: i2010	(C109: lg 108.79) endet in 41		18-06-2011	bchaffin
	757512: i748	(C110: lg 109.04) endet in 601		20-05-2010	Stern
	673140: i700	(C110: lg 109.12) endet in 41		18-07-2011	bchaffin
	585600: i598	(C110: lg 109.45) endet in 37		24-07-2011	unconnected
	752976. i556	(C110: lg 109.49) endet in 43		16-06-2011	fivemack
	774360: i786	(C110: lg 109.76) endet in 37		25-09-2011	bchaffin
	829914: i1942	(C111: lg 110.03) endet in 37		04-04-2010	biwema
	734184: i852	(C111: lg 110.50) endet in 43		25-09-2011	bchaffin
	368712: i1413	(C112: lg 111.13) endet in 41		14-07-2011	unconnected
	91008: i1074	(C112: lg 111.53) endet in 7		05-03-201	bchaffin
	373152: i375	(C112: lg 111.68) endet in 601		09-02-2011	RobertS
	543972: i1135	(C112. lg 111.69) endet in 37		21-11-2011	bchaffin
	98790: i3257	(C112: lg 111.96) endet in 13		20-07-2008	Stern
	734760: i836	(C113: lg 112.06) endet in 191		02-09-2012	Winslow
	142764: i1708	(C113: lg 112.14) endet in 11		13-11-2011	bchaffin
	224560: 1238	(C113: lg 112.15) endet in 7		09-01-2012	bchaffin
	590556: i2314	(C113. lg 112.25) endet in 59		01-10-2011	RobertS
	266224: i683	(C113: lg 112.61) endet in 1093		22-08-2011	bchaffin
	858180: i2818	(C113: lg 112.75) endet in 59		02-10-2011	bchaffin
	940470: i3600	(C113: lg 112.95) endet in 59		11-03-2012	unconnected
	11670: i1067	(C113: lg 112.96) endet in 193		05-09-2007	Stern
	428106: i1880	(C114: lg 113.44) endet in 7		20-01-2012	Batalov
	712068: i1935	(C114: lg 113.78) endet in 43		12-02-2012	bchaffin
	555084: i903	(C114: lg 113.84) endet in 59		17-07-2012	Batalov
	587994: i3177	(C115: lg 114.07) endet in 5431		18-02-2012	unconnected
	133938: i3015	(C115: lg 114.08) endet in 601		28-03-2012	unconnected
	507924: i686	(C115: lg 114.17) endet in 43		15-09-2009	Greebley
	151752: i1175	(C115: lg 114.67) endet in 59		21-06-2009	Greebley
	834216: i1507	(C115: lg 114.99) endet in 601		15-04-2010	Batalov
	701184: i783	(C116: lg 115.81) endet in 73		28-11-2011	bchaffin
	306912: i381	(C116: lg 115.94) endet in 41		09-07-2011	Batalov
	417600: i532	(C117: lg 116.35) endet in 43		19-02-2012	Batalov
	58374: i910	(C118: lg 117.37) endet in 601		29-12-2012	fivemack
	98616: i1041	(C118: lg 117.41) endet in 43		03-12-2009	Stern
	677430: i659	(C118: lg 117.49) endet in 59		07-09-2012	Winslow
	163716: i929	(C118: lg 117.91) endet in 37		12-06-2009	Schickel
	629718: i1331	(C119: lg 118.07) endet in 41		16-02-2014	unconnected
	327132: i3764	(C119: lg 118.54) endet in 41		15-02-2013	fivemack
	109128: i1435	(C119: lg 118.75) endet in 601		14-04-2013	fivemack
	945360: i839	(C120: lg 119.08) endet in 37		22-11-2014	unconnected
	933870: i3165	(C120: lg 119.17) endet in 181		10-12-2012	Batalov
	927468: i1304	(C120: lg 119.96) endet in 41		05-06-2014	f1pokerspeed
	19494: i1547	(C120: lg 119.92) endet in 37		29-11-2012	fivemack
	738288: i1263	(C121: lg 120.72) endet in 41		17-03-2013	unconnected
	770580: 12992	(C121: lg 120.30) endet im 7		05-02-2013	unconnected
	259896: i591	(C121: lg 120.17) endet in 1210/1184		02-12-2013	Batalov
	843528: i1533	(C121: lg 120.59) endet in 1511		17-02-2015	unconnected
	62850: i3277	(C121: lg 120.98) endet in 41		04-09-2008	Stern
	675204: i1760	(C122: lg 121.85) endet in 2620/2924		30-12-2014	RobertS
	860076: i1027	(C122: lg 121.90) endet in 7		23-04-2015	unconnected
	856710: 11264	(C123: lg 122.19) endet in 41		18-12-2013	unconnected
	99240: i763	(C123: lg 122.27) endet in 397		08-07-2012	Batalov
	331202: i1357	(C123: lg 122.44) endet in 43		20-04-2013	firejuggler
	993438: i1090	(C123: lg 122.62) endet in 1741		20-05-2013	Jatheski
	228522: i2852	(C123: lg 122.65) endet in 109		12-04-2014	Sergiosi
	966444: i919	(C123: lg 122.67) endet in 1153		26-02-2015	unconnected
	707016: i3396	(C124: lg 123.81) endet in 41		12-11-2010	Batalov
	653448: i900	(C125: lg 124.01) endet in 601		30-12-2014	Batalov
	706200: i1012	(C125: lg 124.08) endet in 59		31-03-2015	unconnected
	660212: i1188	(C125: lg 124.71) endet in 73		25-09-2014	Batalov
	921232: i5510	(C127: lg 126.67) endet in 11		12-04-2010	Creyaufmüller/unconnected
	407856: i955	(C128: lg 127.71) endet in 41		30-11-2014	unconnected

Maximum bei OE-Ketten:	1134: i2265	C134	g1134	30-01-2004	Zimmermann/ Creyaufmüller
	552: i902	C147	g552	15-05-2005	Zimmermann
	276: i1567	C149	g276	11-06-2006	Zimmermann
	3432: i1098	C160		20-5-2006	Clavier
	4788: i2529 4788: i5232	C172 C195		21-04-2010 20-05-2014	Clavier Propper
	3270: i677	C188		19-02-2013	Clavier
	2340: i750	C200		28-01-2016	Womack

Maximum bei OES-Ketten:	72288: i1144	(C90: lg 89.15) - OES zu 11408		17-07-2002	Stern
	532530: i1156	(C109: lg 108.88) - OES zu 10528		07-07-2011	bchaffin
	594228: i969	(C110: lg 109.46) - OES zu 38208		15-11-2011	bchaffin
	644664: i779	(C112: lg 111.46) - OES zu 37632		26-12-2011	bchaffin
	207984: i2325	(C112: lg 111.54) - OES zu 53802		31-12-2011	Batalov
	920478: i1041	(C114: lg 113.57) - OES zu 163716		29-03-2012	Batalov
	438966: i3993	(C116: lg 115.63) - OES zu 5748		11-02-2012	unconnected
	448476: i862	(C117: lg 116.29) - OES zu 1074		01-06-2013	Batalov
	273540: i1158	(C117: lg 116.88) - OES zu 3876		12-07-2013	unconnected
	346848: i1314	(C119: lg 118.27) - OES zu 8844		27-05-2013	Batalov
	337662: i917	(C122: lg 121.86) - OES zu 37104		20-04-2014	fivemack
	574344: i1041	(C124: .lg 123.46) - OES zu 5748		17-09-2012	Stern
Größter Rückgang:	1578	Von C110 auf C5	g1578	20-02-2005	Clavier

Anmerkung zu den Ketten mit Rekordlängen:
Die drei Seitenketten zu 25968 fließen an unterschiedlichen Stellen ineinander:
227646:i14 = 652500:i2 = 2372658 und 820584:i2 = 635016:i3 sowie 635016:i962 = 227646:i1094 = 230456;
25968:i10 = 196188:i409 = 635016:i978 = 652500:i1100 = 227646:i1112.
Die Sequenz 921232 erreichte als erste bekannte über 5000 Iterationen.
Die Sequenz 389508 erreichte als erste bekannte über 8000 Iterationen; Rechenstand: 389508:i8033
Die Berechnung der Sequenz 115302 wurde bei i5415 (C100) vorläufig gestoppt.

Intervall	Anzahl der OE-Ketten	Rechengrenze	gerechnet von

[1, 1000]	5	> 10^186	C/Z
[1, 10000]	81	> 10^151	C/VB/Z/CL
[1, 50000]	440	> 10^100	B/C/G/VB
(50000, 10^5]	458	>10^100	C/G/S/Z
[1, 100000]	898	> 10^100	B/G/Z/VB/S/C/CL
(100000, 200000]	950	> 10^100	C/VB
(200000, 300000]	911	> 10^100	C / H / B
(300000, 400000]	850	> 10^80 / 10^100	C / B
(400000, 500000]	882	> 10^80	C
(500000, 600000]	945	> 10^80	C
(600000, 700000]	932	> 10^80	C
(700000, 800000]	919	> 10^80 / 10^100	C
(800000, 900000]	952	> 10^80	C
(900000, 10^6]	951	> 10^80	C

[1,10^6]	9190	> 10^80 / 10^100
Download aller Ketten		> 10^80 / 10^100

1) primterminierte Ketten	Der Graph ist ein einzelner, unregelmäßiger Berg mit einem Hauptmaximum (Ende in Primzahl)	Beispiel: g840
2) zyklischer Abschluss	Der Graph endet in einer horizontalen Linie (Ende in vollkommener Zahl)	Beispiel: g976950
	Der Graph schwankt zwischen zwei horizontalen Grenzgeraden (Ende in befreundeten Zahlen)	Beispiel: g980460
	Der Graph schwankt zwischen zwei horizontalen Grenzgeraden (Ende in einem Zyklus höherer Ordnung)	Beispiel: g17490 und g2856
3) offene Ketten	Der Graph steigt mehr oder minder konstant an, hat aber sein Maximum zumeist am Ende	Beispiel: g276 und g1578

ECM - PPMPQS - PPSIQS	NFS	Allgemein
ECMNET - freie ECM Programme	Number Field Sieve	Algorithmische Zahlentheorie
ECM client/server	Number Field Sieve Org.	Jim Howell
Hisanori Mishima	GGNFS	Richard Pinch's Computer Algebra Links
Arithmétique Théorie des Nombres	Wikipedia-Zahlkörpersieb	MIRACL - Michael Scott
ECC Tutorial	MSIEVE	Richard Brent's Faktortafeln
Elliptic Curves		Wilfried Keller - Faktortafeln
		Crypto-World
		Factorization Announcements
		numbertheory.org/ntw/N4.html - Linksammlung
		Primzahlen
		Prime Links ++
		Primzahlseite

C9C30 Stand: 12-8-2009	C60 Stand: 27-5-2002	C80 Stand: 31-3-2003
Datenbank C9C30 - Ausschnitt 1 bis 100000	Datenbank C60 - Ausschnitt 1 bis 100000	Datenbank C80 - Ausschnitt
Datenbank C9C30 - Komplettversion (ca. 650 kB)	Datenbank C60 - Komplettversion (ca. 372 kB)	Datenbank C80 - Komplettversion (ca. 446 kB)

Primzahlfamilien - aliquot sequences

Definition - Catalan'sche Vermutung